Питання1. Збіжність послідовності
Лема1. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена
Нехай .Тоді, за означенням, , тобто числова послідовність обмежена. Тобто , що .
Лема2. Послідовність не може збігатися до двох різних точок.
Нехай . В силу нерівності трикутника для
правильна нерівність .
Оскільки , . при , то .
Лема3. Для того щоб послідовність точок простору Rn , де , збігаласть до границі необхідно і досить, щоб виконувались рівності , .
Нехай , тоді . Для всіх
при при І навпаки, якщо , то , при .
Лема4. Якщо послідовність метричного простору Х збігається, то вона фундаментальна.
Нехай , що і . В силу нерівності трикутника маємо:
=.
Питання2. Границя Функції
Означення1. Нехай функція f(x) визначена в проколотому околі (x) точки метричного простору Х. Кажуть, що число А є границею функції f(x) при , якщо такке, що , яке задовольняє нерівність виконується нерівність
Означення 2 Кажуть, що функція, яка визначена в має при границю А, якщо для довільної послідовності і такої, що , виконується рівність
Еквівалентність двох означень границі доводять так само, як для функції однієї змінної.
Отже, якщо число А – границя функції f(x) при , то пишуть =A
У випадку двох незалежних змінних, тобто якщо функція f(x,y) визначена в проколеному околі і число А – границя при , то пишуть
Число А називається подвійною границею.
Аналогічно для функції n змінних рівність =A записують ще так:
Лема1. Нехай функції f(x) і визначені в і в . Якщо то і .
Оскільки , то знайдеться куля , що для всіх виконується: . Тим більше, для всіх виконується нерівність , тобто .
Питання 3
Нехай функція f(x) неперервна в області і набуває в цій області значень А і В. Тоді функція f(x) набуває в області G всі значення, що містяться між А і В.
Оскількі область зв’язана множина, то будь-які дві точки можна з’єднати ламаною (чи кривою), яку можна параметризувати параметром t. Нехай f(a)=A, f(b)=B. З’єднаємо точки a і b неперервною кривою
. Оскільки f(x(t)) - неперервна функція, то вона, як функція однієї змінної набуває всіх значень між A і B.
Зауважимо, що з цієї теореми слідує, що якщо і , то функція обов’язково в деякій точці набуває нульового значення
Питання4
Л.3п.2.теорема3
Достатня умова диференційованості функції в точці
Якщо всі частинні похідні визначені в околі точки і неперервні в точці , то функція f(x) диференційована в точці .
Розглянемо випадок трьох змінних. Загальний випадок доводиться аналогічно. Нехай - визначені в деякій кулі і неперервні в точці . Запишемо приріст функції у вигляді
Кожна з трьох різниць правої частини є частинним приростом функції по одній змінній.
Застосовуємо формулу Лагранжа для першої різниці:
Оскільки - неперервна функції в точці , то
Аналогічно отримуємо
Де функції мають скінченні границі при
Отже
А функція записана в такому вигляді є диференційована.
Питання5.Л.3 п.4 Диференціал. Інваріантність форми першого диференціалу.
Нехай функція f(x) диференційована в точці . Тоді при можна записати
Покладемо за означенням
Якщо функція f(x) диференційована в точці , то лінійну частину відносно приростів незалежних змінних
(*)
називають диференціалом функції f(x) в точці .
Тоді при
Вираз (*) також називають першим диференціалом функції f(x) в точці .
Знайдемо диференціал складної функції. Нехай функції диференційовані в точці , а функція є диференційованою в точці . За відповідною теоремою складна функція є диференційованою в точці . Тоді можна записати
=
Отже
Якщо б були новими незалежними змінними, то диференціал мав би вигляд
Формально даний диференціал має такий самий вигляд як і попередній відносно змінних. Кажуть, що форма першого диференціалу інваріантна відносно заміни змінних.
Нехай функція f(x) диференційована в деякій області . Тоді в кожній точці можна записати ди...
